مجوعه‌های اندازه‌پذیر به مثابهٔ نقاط حدی

چکیده مقاله

دانشجویانِ درس‎ آنالیز حقیقی در دورهٔ کارشناسی ارشد، با قضیهٔ توسیع کاراتئودوری آشنا می‌شوند. این قضیه نشان می‌دهد که چگونه می‌توان یک جبر را به یک ‎سیگماجبر و یک اندازهٔ متناهی‌ْجمعی روی جبر را به اندازه‌ای شماراجمعی روی ‎سیگماجبر، گسترش داد. رویکرد متداول در بیان این قضیه، عبارت است از تعریف اندازهٔ بیرونی وابسته به اندازهٔ متناهی‌ْجمعی اولیه و سپس استفاده از جمعی بودنِ اندازهٔ بیرونی برای تعریف مجموعه‌های اندازه‌پذیر. در این مقاله، رویکرد دیگری به قضیهٔ توسیع کاراتئودوری ارائه می‌کنیم که در آن، مجموعه‌های اندازه‌پذیر به‌عنوان نقاط حدی به‌دست می‌آید. نشان می‌دهیم که ‎سیگماجبر مجموعه‌های اندازه‌پذیر به‌طور طبیعی به‌عنوان مجموعهٔ تمام نقاط حدی دنباله‌های کُشی در جبر اولیه، به‌وجود می‌آید. این رهیافت را به دانشجویانی پیشنهاد می‌کنیم که ممکن است تعریف مرسوم اندازه‌پذیری را غیرشهودی بدانند.