برنامه درسی

لیست برنامه های درسی

منابع

 1- The Theory of Differential Equations Classical and Qualitative, Second Edition, Walter G. Kelley, Allan C. Peterson, Springer 2011.

2- Differential Equations, Dynamical Systems and an Introduction to Chaos, W.M. Hirsch, S. Smale, R. Devaney,  Elsevior, 2004.

طرح درس

فصل1- مقدماتی از جبر خطی: مقدار ویژه، بردار ویژه، قطری سازی ماتریسها، فرمهای جردن.

فصل2- مروری بر معادلات یک‌بعدی: وجود و یکتائی جواب، بازه‌ی ماکسیمال وجود جواب، نمای فاز روی خط حقیقی، انشعاب‌های مقدماتی نظیر انشعاب‌ گره-زینی، انشعاب‌ تبادل پایداری، انشعاب‌ چنگال.

فصل3- دستگاه‌های معادلات دیفرانسیل خطی: وجود و یکتائی جواب، نمای یک ماتریس، ماتریس اساسی جواب، پایداری خطی، نمای فاز دستگاه‌های معادلات دیفرانسیل خطی مسطح، دستگاه‌های معادلات دیفرانسیل خطی مسطح غیر خودگردان و نظریه‌ی فلوکه.

فصل4-دستگاه‌های غیر خطی : تعریف جریان، نقطه تعادل، پایداری نقاط تعادل، خطی‌سازی، پایداری لیاپانوف، معادل‌بودن توپولوژیک جریان‌ها، قضیه‌ی هارتمن-گرابمن، مجموعه‌های حدی، منیفلد‌های پایدارو ناپایدار، منیفلد مرکزی.

فصل5- مسائل مقدار مرزی: مقدمه‌ای بر نظریه‌ی اشتورم-لیوویل

اطلاعات کلاس

زمان برگزاری مکان برگزاری توضیحات فایل پیوست اول فایل پیوست دوم فایل پیوست سوم
- - -

اطلاعات کلاس

زمان برگزاری مکان برگزاری توضیحات فایل پیوست اول فایل پیوست دوم فایل پیوست سوم
یک‌شنبه و سه شنبه از ساعت 10 تا 12 - - -
منابع

1- درآمدی بر حسابان چند متغیره، تألیف مجید مزروعی، امیرحسین نخودکار و رسول کاظمی، زیر چاپ.

2- حساب دیفرانسیل و انتگرال و هندسه‌ی تحلیلی، جلد دوم، ویرایش دوازدهم، جرج توماس، جوئل هاس، موریس ویر.

3- حساب دیفرانسیل و انتگرال با هندسه‌ی تحلیلی تألیف ریچارد سیلور‌من- ترجمه‌ی دکتر عالم‌زاده.

طرح درس

جلسه

موضوع تدریس

1

مفهوم هندسی بردارها– اعمال بر بردارها و توصیف هندسی آنها (مجموع، تفاضل، ضرب اسکالر، ضرب داخلی، ضرب خارجی، ضرب سه‌گان)

2

تصویر یک بردار در راستای بردار دیگر– توصیف بردارها بر اساس مؤلفه‌ها- اعمال روی بردارها بر اساس مؤلفه‌ها– معادله‌ی خط و صفحه در فضا

3

تعریف تابع برداری-اعمال بین توابع برداری- حد، پیوستگی و مشتق‌پذیری توابع برداری – تعریف خم پارامتری- معرفی معادله‌ی پارامتری خم‌های مهم و رسم آنها (دایره، بیضی، پاره خط،‌ مارپیچ)- معرفی نمودار توابع به عنوان منحنی در صفحه- معرفی بردارهای مکان، سرعت و شتاب

4

دستگاه مختصات فرنه- خط مماس- صفحه‌ی قائم- صفحه‌ی بوسان- مفهوم خم مسطح و معادل‌های آن

5

معرفی تابع طول قوس- پارامتری کردن خم بر حسب تابع طول قوس- تابع انحنا- شعاع انحنا- کره‌ی بوسان و دایره‌ی بوسان

6

معرفی رویه‌ها در فضا- رویه‌های دوار- رویه‌های استوانه‌ای- رویه‌های درجهٔ 2 (بیضی‌گون، هذلولی‌گون یک پارچه، هذلولی‌گون دو پارچه، مخروط بیضوی، سهمی‌گون بیضوی، سهمی‌گون هذلولوی یا زین‌اسبی)

7

توابع چند‌متغیره- نمودار یک تابع دو متغیره- مجموعه تراز یک تابع چند متغیره- حد و پیوستگی توابع چند متغیره- حد بر روی مسیرها،

8

مشتقات جزئی مرتبه اول و مراتب بالاتر و قضایای مربوط به آن، مشتق پذیری، دیفرانسیل کل،

9

قاعده ی زنجیری، مشتق توابع ضمنی،

10

مشتق سویی، صفحه ی مماس و خط عمود بر رویه،

11

تعریف اکسترمم‌های نسبی و مطلق توابع چند متغیره و آزمون تعیین اکسترمم‌های نسبی برای توابع دو متغیره،

12

معرفی اکسترمم‌های مشروط و محاسبه‌ی آن با استفاده از قاعده‌ی ضرائب لاگرانژ- محاسبه‌ی اکسترمم‌های مطلق توابع دو متغیره‌ی پیوسته در نواحی بسته و کران‌دار

13

تعریف انتگرال دو گانه، محاسبه ی انتگرال دو گانه برای نواحی مستطیلی، ساده‌ی افقی، ساده‌ی عمودی،

14

محاسبه ی انتگرال دو گانه برای نواحی چند‌گانه- قضیه‌ی فوبینی و تعویض ترتیب انتگرال‌گیری

15

قضیه ی ژاکوبی (تغییر متغیر) و بررسی مثال‌های متنوع

16

تغییر متغیرقطبی و بررسی مثال‌های متنوع

17

تعریف انتگرال سه گانه، محاسبه ی انتگرال سه گانه برای نواحی مستطیلی، x-ساده‌، y-ساده‌ و z-ساده

18

قضیه‌ی ژاکوبی (تغییر متغیرتغییر متغیر استوانه‌ای و انتگرال سه‌گانه در دستگاه مختصات استوانه‌ای،

19

تغییر متغیر کروی و انتگرال سه‌گانه در دستگاه مختصات کروی،

20

انتگرال  توابع دو و سه متغیره روی خم‌ها (انتگرال های خط نسبت به طول قوس)- خصوصیات و تعبیر هندسی (محاسبه‌ی مساحت رویه‌ی بنا شده بر یک خم)- معرفی میدان برداری- بیان پیوستگی و مشتق‌پذیری یک میدان برداری بر حسب مؤلفه‌های آن- معرفی کرل و دیورژانس یک میدان برداری،

21

انتگرال میدان برداری روی خم- بیان خواص آن-استقلال از مسیر و تعرف میدان گرادیان و قضایای مربوط - محاسبه‌ی تابع پتانسیل،

22

قضیه‌ی مربوط به محاسبه‌ی انتگرال میدان‌های برداری گرادیان روی خم،

23

قضیه ی گرین و مثال‌های متنوع،

24

انتگرال  توابع سه متغیره روی رویه‌ها- مساحت سطح- خواص و مثال‌ها،

25

شار میدان برداری گذرا از یک رویه- خواص و مثال‌ها،

26

قضیه‌ی گؤس (دیورژانس) و مثالها، قضیه‌ی استوکس و مثال‌ها،

اطلاعات کلاس

زمان برگزاری مکان برگزاری توضیحات فایل پیوست اول فایل پیوست دوم فایل پیوست سوم
- - -
منابع

1- Differntial Equations and Dynamical systems, Third Edition, L. Perko, Springer-Verlag , 2001.
2- Differential Dynamical Systems, J. D. Meiss, SIAM 2007.

طرح درس

1-Introduction: one dimensional dynamics, examples, motivation.
2-Linear systems: Matrix ODEs, Eigenvalues and Eigenvectors, Diagonalization, Two-Dimensional Linear Systems, Exponentials of Operators, Fundamental Solution Theorem, Complex Eigenvalues, Multiple Eigenvalues, Semisimple-Nilpotent Decomposition, The Exponential, Linear Stability, Nonautonomous Linear Systems and Floquet Theory.
3-Existence and Uniqueness: Existence and Uniqueness Theorem, Dependence on Initial Conditions and Parameters, Maximal Interval of Existence.
4- Dynamical Systems: Definitions, Flows, Global Existence of Solutions, Linearization, Stability, Lyapunov Functions, Topological Conjugacy and Equivalence, Hartman–Grobman Theorem, Omega and alpha-Limit Sets, Attractors and Basins, Stability of Periodic Orbits, Poincaré Maps.
5- Invariant Manifolds: Stable and Unstable Sets, Homoclinic and Heteroclinic Orbits, Stable Manifolds, Local Stable Manifold Theorem, Global Stable Manifolds, Center Manifolds.
6- The Phase Plane: Nonhyperbolic Equilibria in the Plane, Two Zero Eigenvalues and Nonhyperbolic Nodes, Imaginary Eigenvalues: Topological Centers, Symmetries and Reversors, Index Theory, Poincaré–Bendixson Theorem, Liénard Systems, Hamiltonian Systems, Gradient Systems, Reversible Systems.
 

اطلاعات کلاس

زمان برگزاری مکان برگزاری توضیحات فایل پیوست اول فایل پیوست دوم فایل پیوست سوم
- - -

اطلاعات کلاس

زمان برگزاری مکان برگزاری توضیحات فایل پیوست اول فایل پیوست دوم فایل پیوست سوم
یک‌شنبه و سه‌شنبه 14-16 - - -
فایل پیوست اول جزوه درس معادلات دیفرانسیل.pdf
فایل پیوست دوم برنامۀ درس معادلات دیفرانسیل.pdf

اطلاعات کلاس

زمان برگزاری مکان برگزاری توضیحات فایل پیوست اول فایل پیوست دوم فایل پیوست سوم
شنبه و دوشنبه 8-10 کلاس 219 ساختمان اسلامی - - -
شنبه و دوشنبه 10-12 کلاس 219 ساختمان اسلامی - - -

اطلاعات کلاس

زمان برگزاری مکان برگزاری توضیحات فایل پیوست اول فایل پیوست دوم فایل پیوست سوم
شنبه و دوشنبه از ساعت 8 تا 10 - - -

اطلاعات کلاس

زمان برگزاری مکان برگزاری توضیحات فایل پیوست اول فایل پیوست دوم فایل پیوست سوم
دوشنبه و چهارشنبه 10 تا 12

آزمون ها:

  • آزمون میان‌ترم: از جلسه 1 تا پایان جلسه 14 (فصل‌های 1و2و3) به ارزش 8 نمره (تاریخ میان‌ترم: 12 اردیبهشت 1403 ساعت 13).
  • آزمون پایان‌ترم: از جلسه 15 تا پایان جلسه 30 (فصل‌های 4، 5 و 6) به ارزش 10 نمره (تاریخ پایان‌ترم، طبق اعلام آموزش 24 خرداد 1403 ساعت 10).
  • تکالیف و فعالیتهای مستمر: 2 نمره.
  • تکالیف هفتگی در سامانه ال ام اس دانشگاه بارگزاری می‌شوند و تحویل پاسخ آنها در موعد مقرر نیز همان‌جا امکانپذیر است.
- - -

اطلاعات کلاس

زمان برگزاری مکان برگزاری توضیحات فایل پیوست اول فایل پیوست دوم فایل پیوست سوم
شنبه و دوشنبه از ساعت 10 تا 12 - - -
منابع

متغیرهای مختلط و کاربردها، تالیف جیمز براون و روئل چرچیل، ترجمه امیر خسروی، مرکز نشر دانشگاهی.

طرح درس

نام درس: توابع مختلط

سرفصل درس:

فصل1- اعداد مختلط:  تعریف اعداد مختلط، جمع، ضرب و تقسیم اعداد مختلط، قدر مطلق اعداد مختلط، نمایش هندسی و قطبی اعداد مختلط، توان و ریشه‌ی اعداد مختلط.

فصل2- توپولوژی صفحه‌ی مختلط: نواحی در صفحه‌ی مختلط، تعریف متر صفحه‌ی مختلط، مجموعه‌های باز و بسته، دنباله و همگرایی دنباله‌ها، مجموعه‌های فشرده و همبند در صفحه‌ی مختلط.

فصل3- توابع مختلط: حد و پیوستگی و مشتق‌پذیری توابع مختلط، تحلیلی بودن، روابط کشی-ریمان، نتایجی در مورد توابع تحلیلی.

فصل4- توابع مقدماتی: توابع نمایی، لگاریتمی، مثلثاتی، هذلولوی، وارون مثلثاتی و وارون هذلولوی.

فصل5- انتگرال مختلط: مفهوم انتگرال مختلط و ویژگی‌های آن، قضیه کوشی-گورسا، فرمول انتگرال کشی، قضیه لیوویل و قضیه اساسی جبر.

فصل6- سری‌های مختلط: مفهوم سری‌های مختلط و همگرایی آنها، سری‌های توانی، سرس تیلور، سری لوران،

فصل7- مانده‌ها و قطب‌ها: نقاط تکین توابع غیر تحلیلی و دسته‌بندی آنها، قطبها و مانده‌ها.

فصل8- کاربردهای مانده‌ها: محاسبه‌ی انتگرال‌های ناسره.

اطلاعات کلاس

زمان برگزاری مکان برگزاری توضیحات فایل پیوست اول فایل پیوست دوم فایل پیوست سوم
یک‌شنبه-سه‌شنبه ساعت 10 تا 12


ساعت درس: یک‌‌شنبه‌ و سه‌شنبه‌ ساعت 12-10

ساعت رفع اشکال: یک‌شنبه‌ و سه‌شنبه‌ ساعت 10-8

نحوهٔ محاسبهٔ نمره: 
میان‌ترم اول: 4 نمره
،   میان‌ترم دوم: 5 نمره،    تکلیف و فعالیت کلاسی مستمر: 3 نمره،    پایان ترم: 8 نمره

 تاریخ میان‌ترم اول: یک‌شنبه 20/12/1402 ساعت 12-10

تاریخ میان‌ترم دوم: چهار‌شنبه 26/02/1403 ساعت 16-14

امتحان پایان ترم: طبق برنامه آموزش  (‌شنبه 19/03/1403 ساعت 12-10)

تکالیف هفتگی در سامانه ال ام اس دانشگاه بارگزاری می‌شوند و تحویل پاسخ آنها در موعد مقرر نیز همان‌جا امکانپذیر است.

- - -
منابع

مراجع:

  1. Geoffrey R. Goodson, Chaotic Dynamics: Fractals, Tilings, and Substitutions, 2017.
  2.  آشوب گسسته با کاربرد‌های در علوم  و مهندسی، تألیف صابر الایدی، ترجمه محمدحسین اکرمی، رسول کاظمی، انتشارات دانشگاه یزد.
طرح درس

نام درس: مبانی دستگاه‌های دینامیکی

سرفصل درس:

فصل1- تعاریف و مفاهیم مقدماتی و نگاشتهای 1 بعدی:  مثال‌هایی از دستگاه‌های دینامیکی گسسته و معادلات تفاضلی خطی با ضرائب ثابت و متغیر شامل مدل جمعیت ، تعاریف و مفاهیم مقدماتی شامل مدار، نقاط ثابت هذلولوی و غیر هذلولوی و همچنین مفهوم  پایداری و ناپایداری آنها، مشتق شوارتزی،  نمودار پلکانی و تکرار.

فصل2- مدارهای تناوبی و بررسی نگاشت لجستیک: مفهوم دامنه جذب، نقاط تناوبی و مفهوم پایداری،   مدارهای تناوبی نگاشت لجستیک و نگاشت چادر.

فصل3- قضیه شارکوسکی و انشعاب: انشعابات گره زینی، تبادل پایداری، چنگال، مضاعف سازی دوره تناوب، مضاعف سازی دوره تناوب راهی به سوی آشوب، نقاط تناوبی با دوره‌ی تناوب3 ، قضیه‌ی شارکوسکی و معکوس آن.

فصل4- مفهوم دینامیک روی فضاهای متریک: ویژگی‌های فضاهای متریک، مفهوم چگال بودن یک زیرمجموعه از یک فضای متریک، توابع بین دو فضای متریک، مفهوم همیومورفیسم و دیفیومورفیسم.

فصل5- مجموعه‌های اندازه صفر: شمارایی، مفهوم مجموعه‌های اندازه صفر، مجموعه‌ی کانتور و بسط سه‌سه‌ای اعضای آن.

فصل6- آشوب: دینامیک نمادین، آشوب از دیدگاه دیوینی ، مزدوج بودن توپولوژیک ، حساس بودن نسبت به شرط اولیه و نمای لیاپانف.

فصل7- پایداری در نگاشتهای 2 بعدی: دستگاه‌های دینامیکی در صفحه شامل دستگاه‌های  خطی، معادلات تفاضلی مرتبه‌ی دو، نمای فاز، پایداری نقاط ثابت و تناوبی، توابع لیاپانف، قضایای هارتمن-گرابمن و منیفلد پایدار.

اطلاعات کلاس

زمان برگزاری مکان برگزاری توضیحات فایل پیوست اول فایل پیوست دوم فایل پیوست سوم
دوشنبه و چهارشنبه 8 تا 10

ساعت درس: دو‌شنبه‌ و چهار‌شنبه‌ ساعت 10-8

ساعت رفع اشکال: یک‌شنبه‌ و سه‌شنبه‌ ساعت 10-8

نحوهٔ محاسبهٔ نمره: 
میان‌ترم اول: 4 نمره
،   میان‌ترم دوم: 5 نمره،    تکلیف و فعالیت کلاسی مستمر: 3 نمره،    پایان ترم: 8 نمره

 تاریخ میان‌ترم اول: چهار‌شنبه 23/12/1402 ساعت 10-8

تاریخ میان‌ترم دوم: چهار‌شنبه 19/02/1403 ساعت 16-14

امتحان پایان ترم: طبق برنامه آموزش  (چهار‌شنبه 23/03/1403 ساعت 12-10)

تکالیف هفتگی در سامانه ال ام اس دانشگاه بارگزاری می‌شوند و تحویل پاسخ آنها در موعد مقرر نیز همان‌جا امکانپذیر است.

- - -