برنامه درسی

1- درآمدی بر حسابان چند متغیره، تألیف مجید مزروعی، امیرحسین نخودکار و رسول کاظمی، زیر چاپ.

2- حساب دیفرانسیل و انتگرال و هندسه‌ی تحلیلی، جلد دوم، ویرایش دوازدهم، جرج توماس، جوئل هاس، موریس ویر.

3- حساب دیفرانسیل و انتگرال با هندسه‌ی تحلیلی تألیف ریچارد سیلور‌من- ترجمه‌ی دکتر عالم‌زاده.

1- Differntial Equations and Dynamical systems, Third Edition, L. Perko, Springer-Verlag , 2001.
2- Differential Dynamical Systems, J. D. Meiss, SIAM 2007.

1-Introduction: one dimensional dynamics, examples, motivation.
2-Linear systems: Matrix ODEs, Eigenvalues and Eigenvectors, Diagonalization, Two-Dimensional Linear Systems, Exponentials of Operators, Fundamental Solution Theorem, Complex Eigenvalues, Multiple Eigenvalues, Semisimple-Nilpotent Decomposition, The Exponential, Linear Stability, Nonautonomous Linear Systems and Floquet Theory.
3-Existence and Uniqueness: Existence and Uniqueness Theorem, Dependence on Initial Conditions and Parameters, Maximal Interval of Existence.
4- Dynamical Systems: Definitions, Flows, Global Existence of Solutions, Linearization, Stability, Lyapunov Functions, Topological Conjugacy and Equivalence, Hartman–Grobman Theorem, Omega and alpha-Limit Sets, Attractors and Basins, Stability of Periodic Orbits, Poincaré Maps.
5- Invariant Manifolds: Stable and Unstable Sets, Homoclinic and Heteroclinic Orbits, Stable Manifolds, Local Stable Manifold Theorem, Global Stable Manifolds, Center Manifolds.
6- The Phase Plane: Nonhyperbolic Equilibria in the Plane, Two Zero Eigenvalues and Nonhyperbolic Nodes, Imaginary Eigenvalues: Topological Centers, Symmetries and Reversors, Index Theory, Poincaré–Bendixson Theorem, Liénard Systems, Hamiltonian Systems, Gradient Systems, Reversible Systems.
 

متغیرهای مختلط و کاربردها، تالیف جیمز براون و روئل چرچیل، ترجمه امیر خسروی، مرکز نشر دانشگاهی.

نام درس: توابع مختلط

سرفصل درس:

فصل1- اعداد مختلط:  تعریف اعداد مختلط، جمع، ضرب و تقسیم اعداد مختلط، قدر مطلق اعداد مختلط، نمایش هندسی و قطبی اعداد مختلط، توان و ریشه‌ی اعداد مختلط.

فصل2- توپولوژی صفحه‌ی مختلط: نواحی در صفحه‌ی مختلط، تعریف متر صفحه‌ی مختلط، مجموعه‌های باز و بسته، دنباله و همگرایی دنباله‌ها، مجموعه‌های فشرده و همبند در صفحه‌ی مختلط.

فصل3- توابع مختلط: حد و پیوستگی و مشتق‌پذیری توابع مختلط، تحلیلی بودن، روابط کشی-ریمان، نتایجی در مورد توابع تحلیلی.

فصل4- توابع مقدماتی: توابع نمایی، لگاریتمی، مثلثاتی، هذلولوی، وارون مثلثاتی و وارون هذلولوی.

فصل5- انتگرال مختلط: مفهوم انتگرال مختلط و ویژگی‌های آن، قضیه کوشی-گورسا، فرمول انتگرال کشی، قضیه لیوویل و قضیه اساسی جبر.

فصل6- سری‌های مختلط: مفهوم سری‌های مختلط و همگرایی آنها، سری‌های توانی، سرس تیلور، سری لوران،

فصل7- مانده‌ها و قطب‌ها: نقاط تکین توابع غیر تحلیلی و دسته‌بندی آنها، قطبها و مانده‌ها.

فصل8- کاربردهای مانده‌ها: محاسبه‌ی انتگرال‌های ناسره.

مراجع:

1. Geoffrey R. Goodson, Chaotic Dynamics: Fractals, Tilings, and Substitutions, 2017.
2.  آشوب گسسته با کاربرد‌های در علوم  و مهندسی، تألیف صابر الایدی، ترجمه محمدحسین اکرمی، رسول کاظمی، انتشارات دانشگاه یزد.

نام درس: مبانی دستگاه‌های دینامیکی

سرفصل درس:

فصل1- تعاریف و مفاهیم مقدماتی و نگاشتهای 1 بعدی:  مثال‌هایی از دستگاه‌های دینامیکی گسسته و معادلات تفاضلی خطی با ضرائب ثابت و متغیر شامل مدل جمعیت ، تعاریف و مفاهیم مقدماتی شامل مدار، نقاط ثابت هذلولوی و غیر هذلولوی و همچنین مفهوم  پایداری و ناپایداری آنها، مشتق شوارتزی،  نمودار پلکانی و تکرار.

فصل2- مدارهای تناوبی و بررسی نگاشت لجستیک: مفهوم دامنه جذب، نقاط تناوبی و مفهوم پایداری،   مدارهای تناوبی نگاشت لجستیک و نگاشت چادر.

فصل3- قضیه شارکوسکی و انشعاب: انشعابات گره زینی، تبادل پایداری، چنگال، مضاعف سازی دوره تناوب، مضاعف سازی دوره تناوب راهی به سوی آشوب، نقاط تناوبی با دوره‌ی تناوب3 ، قضیه‌ی شارکوسکی و معکوس آن.

فصل4- مفهوم دینامیک روی فضاهای متریک: ویژگی‌های فضاهای متریک، مفهوم چگال بودن یک زیرمجموعه از یک فضای متریک، توابع بین دو فضای متریک، مفهوم همیومورفیسم و دیفیومورفیسم.

فصل5- مجموعه‌های اندازه صفر: شمارایی، مفهوم مجموعه‌های اندازه صفر، مجموعه‌ی کانتور و بسط سه‌سه‌ای اعضای آن.

فصل6- آشوب: دینامیک نمادین، آشوب از دیدگاه دیوینی ، مزدوج بودن توپولوژیک ، حساس بودن نسبت به شرط اولیه و نمای لیاپانف.

فصل7- پایداری در نگاشتهای 2 بعدی: دستگاه‌های دینامیکی در صفحه شامل دستگاه‌های  خطی، معادلات تفاضلی مرتبه‌ی دو، نمای فاز، پایداری نقاط ثابت و تناوبی، توابع لیاپانف، قضایای هارتمن-گرابمن و منیفلد پایدار.